Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D đôi một cắt nhau tại G, F, E, H. Chứng minh: EFGH là hình chữ nhật

Để chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật trong hình bình hành ABCD, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tứ giác và các tia phân giác.

1. **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành ABCD, các cạnh đối diện song song và bằng nhau, tức là \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \). Hơn nữa, các góc đối diện cũng bằng nhau, tức là \( \angle A = \angle C \) và \( \angle B = \angle D \).

2. **Tia phân giác**: Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai phần bằng nhau. Vì vậy, các tia phân giác của góc A, B, C, D lần lượt là \( AG, BF, CE, DH \).

3. **Điểm G, F, E, H là nơi cắt nhau**: Các tia phân giác \( AG \) và \( BF \) cắt nhau tại \( G \), các tia \( CE \) và \( DH \) cắt nhau tại \( E \), và tương tự cho F và H.

4. **Chứng minh EFGH là hình chữ nhật**:
- Để chứng minh EFGH là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc tại E, F, G, H đều bằng \( 90^\circ \).
- Trong tam giác AGB, tia AG phân chia góc A thành hai phần bằng nhau, và tia BF phân chia góc B thành hai phần bằng nhau. Do đó, góc EGB có thể được biểu diễn là \( \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) \).
- Tương tự, ta có thể chứng minh rằng góc FGA, GHE và HEF cũng đều bằng \( 90^\circ \) dựa trên các góc đã cho của hình bình hành.

5. **Các cạnh đối diện bằng nhau**: Cạnh EF và GH là cạnh đối diện trong hình chữ nhật EFGH. Do các tia phân giác cắt nhau tại các điểm chéo của hình bình hành, nên EF = GH và EH = FG.

Kết luận: Do EFGH có bốn góc vuông và hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, nên EFGH là hình chữ nhật.