Để rút gọn biểu thức \( m \) được cho là:

\[
m = a \sqrt{b} + b \sqrt{a} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\]

Trước tiên, ta có thể viết lại phần thứ hai của biểu thức:

\[
b \sqrt{a} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = b \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{b a}{\sqrt{b}}
\]

Vì vậy, ta có thể viết lại \( m \):

\[
m = a \sqrt{b} + \frac{b a}{\sqrt{b}} = a \sqrt{b} + \frac{b a}{\sqrt{b}}
\]

Ta có thể đưa \( a \) ra ngoài:

\[
m = a \left( \sqrt{b} + \frac{b}{\sqrt{b}} \right)
\]

Vì \(\frac{b}{\sqrt{b}} = \sqrt{b}\):

\[
m = a \left( \sqrt{b} + \sqrt{b} \right) = a \cdot 2\sqrt{b}
\]

Vì vậy, biểu thức rút gọn là:

\[
m = 2a \sqrt{b}
\]

Tiếp theo, ta sẽ tính giá trị của biểu thức này tại \( a = 2 \) và \( b = 8 \):

\[
m = 2(2) \sqrt{8} = 4 \sqrt{8}
\]

Ta biết rằng \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \):

\[
m = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( m \) tại \( a = 2 \) và \( b = 8 \) là:

\[
\boxed{8\sqrt{2}}
\]