Để rút gọn biểu thức \( M = \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \), ta thực hiện như sau:

### Bước 1: Nhân tử với liên hợp
Nhân cả từ và mẫu với liên hợp của mẫu, tức là \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \):

\[
M = \frac{(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}
\]

### Bước 2: Tính mẫu
Mẫu được tính như sau:

\[
(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b
\]

### Bước 3: Tính tử
Tử được mở rộng như sau:
\[
(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a\sqrt{a}\sqrt{b} + a\sqrt{b}\sqrt{b} + b\sqrt{a}\sqrt{a} + b\sqrt{a}\sqrt{b}
\]
\[
= a\sqrt{ab} + ab + b\sqrt{a^2} + b\sqrt{ab} = ab + a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}
\]
\[
= ab + (a + b)\sqrt{ab}
\]

### Bước 4: Thay tử và mẫu vào biểu thức
Ta có:

\[
M = \frac{ab + (a + b)\sqrt{ab}}{a - b}
\]

### Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \( M \) tại \( a = 2 \) và \( b = 8 \)
Thay \( a = 2 \) và \( b = 8 \) vào biểu thức:

\[
M = \frac{2 \times 8 + (2 + 8)\sqrt{2 \times 8}}{2 - 8}
\]
\[
= \frac{16 + 10\sqrt{16}}{2 - 8} = \frac{16 + 10 \times 4}{-6} = \frac{16 + 40}{-6} = \frac{56}{-6} = -\frac{28}{3}
\]

### Kết luận
Vậy giá trị của biểu thức \( M \) tại \( a = 2 \) và \( b = 8 \) là:

\[
M = -\frac{28}{3}
\]