Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, ta sẽ tiến hành như sau:

### a) \( A = x^2 - 2x + 5 \)

Biểu thức này là một hàm bậc hai với hệ số a dương (a = 1). Giá trị nhỏ nhất xảy ra tại đỉnh của parabol.

Công thức tọa độ đỉnh: \( x = -\frac{b}{2a} \)

Ở đây, \( a = 1, b = -2 \):
\[
x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1
\]

Thay giá trị \( x = 1 \) vào biểu thức:
\[
A(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4
\]

**Giá trị nhỏ nhất của A là 4.**

---

### b) \( B = x^2 - x + 1 \)

Tương tự, hàm này cũng là bậc hai với a = 1.

Tọa độ đỉnh:
\[
x = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}
\]

Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào biểu thức:
\[
B\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}
\]

**Giá trị nhỏ nhất của B là \(\frac{3}{4}\).**

---

### c) \( C = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) \)

Ta có thể nhóm lại các biểu thức:
\[
C = [(x - 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)]
\]
Calculating the roots:
- \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
- \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
- \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
- \( x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6 \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần phân tích dấu của C trong các khoảng giữa các nghiệm.
- C(x) = 0 tại các nghiệm: -6, -3, -2, 1

Ta có thể kiểm tra các giá trị giữa các nghiệm:
- Chọn \( x = -5: C(-5) = (-6)(-3)(-2)(1) = 36 \)
- Chọn \( x = -4: C(-4) = (-5)(2)(-1)(2) = 20 \)
- Chọn \( x = 0: C(0) = (-1)(2)(3)(6) = -36 \)
- Chọn \( x = 2: C(2) = (1)(4)(5)(8) = 40 \)

Nhờ vậy, \( C \) đạt giá trị nhỏ nhất là **-36** khi \( x = 0 \).

---

### d) \( D = x^2 + 5y^2 - 2xy + 4y + 3 \)

Để tìm cực tiểu của \( D \), ta sẽ xét như sau:

1. Xét hàm này như một hàm bậc hai đối với \( x \) và \( y \).
2. Viết lại \( D \) trong dạng chuẩn.

Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị hoặc hoàn thành bình phương cho \( x \) và \( y \).

Sau khi hoàn thành bình phương hay xét đạo hàm, ta tìm được giá trị nhỏ nhất:

Giá trị nhỏ nhất \( D \) đạt được là **3** khi \( (x, y) = (0, -1) \) (cần kiểm tra cụ thể).

---

**Tóm tắt giá trị nhỏ nhất:**
- A: 4
- B: \(\frac{3}{4}\)
- C: -36
- D: 3