Cho tam giác ABC cân tại A (BAC < 90°), đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C vuông góc với AC tại O. Gọi giao điểm của AO với BC là H

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng câu hỏi một.

### a) Chứng minh \( AO \) vuông góc với \( BC \) và \( AC^2 = AH \cdot AO \)

1. **Chứng minh \( AO \) vuông góc với \( BC \)**:
- Ta có tam giác \( ABC \) cân tại \( A \). Điểm \( O \) được xác định là giao điểm của đường thẳng đi qua \( B \) vuông góc với \( AB \) và đường thẳng đi qua \( C \) vuông góc với \( AC \).
- Từ tính chất của góc vuông, ta có đường thẳng \( AO \) sẽ vuông góc với đường thẳng \( BC \) vì \( AO \) cắt hai đường thẳng tạo thành hình chữ nhật tại điểm \( O \).

2. **Chứng minh \( AC^2 = AH \cdot AO \)**:
- Áp dụng định lý Hằng số (định lý Pythagore), trong tam giác vuông \( AHO \), ta có:
\[
AC^2 = AH^2 + HO^2
\]
- Mà \( HO \) là chiều cao từ \( H \) đến \( AO \). Bằng cách sử dụng định lý Pythagore một lần nữa trong tam giác vuông \( AOB \), ta có \( AH \cdot AO = AC^2 \).

### b) Trên đoạn thẳng \( AO \), lấy điểm \( I \) sao cho \( OI = OC \). Chứng minh \( CI \) là phân giác của góc \( ACB \).

1. **Chứng minh \( OI = OC \)**:
- Từ giả thiết, ta có thể chọn điểm \( I \) sao cho \( OI = OC \).
- Hai đoạn thẳng \( OI \) và \( OC \) sẽ tạo thành hai tam giác vuông \( OIC \) và \( AOC \).

2. **Chứng minh \( CI \) là phân giác**:
- Khi \( OI = OC \), từ tính chất của phân giác, ta có:
\[
\frac{AI}{AC} = \frac{AH}{AO}
\]
- Do đó, \( CI \) sẽ là phân giác của góc \( ACB \).

### c) Lấy điểm \( D \) sao cho \( O \) là trung điểm của \( BD \), gọi \( K \) là hình chiếu của \( C \) lên \( BD \), và đường thẳng \( AD \) cắt \( CK \) tại \( M \). Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( CK \).

1. **Trung điểm và hình chiếu**:
- Khi \( O \) là trung điểm của \( BD \), thì \( BO = OD \).
- Hình chiếu \( K \) của \( C \) lên \( BD \) tạo ra tam giác vuông tại \( K \).

2. **Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( CK \)**:
- Gọi \( CK \) là đoạn thẳng đi từ \( C \) đến \( K \). Tại điểm \( M \), ta có thể viết đến tỉ lệ phần tử:
\[
CM = MK
\]
- Điều này chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của \( CK \).

Hy vọng rằng những phân tích trên hỗ trợ tốt cho bạn trong việc giải bài toán này!