Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n + 8 \) chia hết cho \( n + 3 \), ta cần điều kiện:

\[
n + 8 \equiv 0 \mod (n + 3).
\]

Điều này tương đương với:

\[
n + 8 = k(n + 3) \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}.
\]

Giải n equation:

\[
n + 8 = kn + 3k \implies n - kn = 3k - 8 \implies n(1 - k) = 3k - 8.
\]

Từ đó, nếu \( k \neq 1 \):

\[
n = \frac{3k - 8}{1 - k}.
\]

Để \( n \) là số tự nhiên, điều kiện là \( 3k - 8 \geq 0 \) và \( 1 - k > 0 \), hay \( k < 1 \).

Bây giờ ta thử với một số giá trị của \( k \):

1. **Nếu \( k = 0 \)**:
\[
n = \frac{3(0) - 8}{1 - 0} = -8 \quad \text{(không hợp lệ)}.
\]

2. **Nếu \( k = -1 \)**:
\[
n = \frac{3(-1) - 8}{1 - (-1)} = \frac{-3 - 8}{1 + 1} = \frac{-11}{2} \quad \text{(không hợp lệ)}.
\]

3. **Nếu \( k = -2 \)**:
\[
n = \frac{3(-2) - 8}{1 - (-2)} = \frac{-6 - 8}{1 + 2} = \frac{-14}{3} \quad \text{(không hợp lệ)}.
\]

4. **Nếu \( k = -3 \)**:
\[
n = \frac{3(-3) - 8}{1 - (-3)} = \frac{-9 - 8}{1 + 3} = \frac{-17}{4} \quad \text{(không hợp lệ)}.
\]

Tiếp tục cho tới khi tìm được \( k \) thích hợp hơn sẽ giúp đưa ra giá trị cho \( n \).

Hoặc, một cách khác là thử trực tiếp các giá trị của \( n \):

1. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
1 + 8 = 9, \quad 1 + 3 = 4 \quad \text{(9 không chia hết cho 4)}.
\]
2. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
2 + 8 = 10, \quad 2 + 3 = 5 \quad (10 \div 5 = 2).
\]

=> Vậy \( n = 2 \) là giá trị hợp lệ.

Tương tự, ta tiếp tục kiểm tra các số tự nhiên khác để tìm thêm giá trị phù hợp (nếu có). Tuy nhiên, trong trường hợp này, \( n = 2 \) là một giá trị đã tìm thấy thỏa mãn điều kiện đã cho.