Để giải bài toán, ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x + 2 = \frac{a}{\sin^2 2x}
\]

Trước tiên, ta biết rằng:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}
\]

Sử dụng công thức hoán đổi, ta có thể viết lại như sau:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x}
\]

Biết rằng \(\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x\), ta có:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}
\]

Từ đó, ta có:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x + 2 = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x + 2\sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}
\]

Điều này trở thành:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x + 2 = \frac{1 + \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}
\]

Tiếp theo, ta biết rằng \(\sin^2 2x = 4\sin^2 x \cos^2 x\), do đó:

\[
\frac{a}{\sin^2 2x} = \frac{a}{4\sin^2 x \cos^2 x}
\]

Khi đó, ta thay vào phương trình:

\[
\frac{1 + \sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{a}{4\sin^2 x \cos^2 x}
\]

Giả sử viên số nhân \(\sin^2 x \cos^2 x\) không bằng 0, từ đó rút gọn hai vế ta có:

\[
1 + \sin^2 x \cos^2 x = \frac{a}{4}
\]

Chuyển vế để tìm a:

\[
a = 4 \left( 1 + \sin^2 x \cos^2 x \right)
\]

Tùy thuộc vào \(x\), ta biết rằng \(\sin^2 x \cos^2 x\) nhận giá trị cực đại là \(\frac{1}{4}\) khi \(\sin^2 x = \cos^2 x = \frac{1}{2}\). Từ đó, ta tính:

\[
\sin^2 x \cos^2 x \leq \frac{1}{4}
\]

Khi đó \(1 + \sin^2 x \cos^2 x\) sẽ nằm trong khoảng \(1\) đến \(1.25\):

\[
1 \leq 1 + \sin^2 x \cos^2 x \leq 1.25
\]

Do đó:

\[
4 \leq a \leq 5
\]

Vậy, \(a\) là khoảng từ \(4\) đến \(5\).