Cho tam giác \( ABC \) (\( AB \perp AC \)), \( AD \) là phân giác trong của góc \( A \). Qua trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \), ta kẻ đường thẳng song song với \( AD \), cắt cạnh \( AC \) tại \( E \) và cắt tia \( BA \) tại \( F \). Biết rằng \( AB = 6 \) và \( 4BD = 3BM \)

Để giải bài toán, trước tiên, chúng ta cần phân tích các thông tin đã cho.

1. **Tam giác \( ABC \)** với \( AB \perp AC \): Điều này có nghĩa rằng \( A \) là một điểm vuông tại \( B \) và \( C \).
2. **Phân giác \( AD \)**: Kẻ từ \( A \) đến \( D \) để phân chia góc \( A \) thành hai góc bằng nhau.
3. **Điểm \( M \)**: Là trung điểm của cạnh \( BC \).
4. **Đường thẳng song song với \( AD \)** cắt \( AC \) tại \( E \) và cắt tia \( BA \) tại \( F \).

### Bước 1: Tính tỉ số
Để tính \( CM \) và \( EM \), chúng ta cần sử dụng tỉ lệ phân giác và tính toán độ dài các đoạn thẳng.
- Theo bài ra: \( 4BD = 3BM \)
- Điều này có thể viết lại dưới dạng tỉ số:
\[
\frac{BD}{BM} = \frac{3}{4}
\]
- Chúng ta biết rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).

### Bước 2: Thiết lập các độ dài
Giả sử độ dài \( BM = x \), thì \( BD = \frac{3}{4}x \) và \( DC = x \) (vì \( M \) là trung điểm).

### Bước 3: Sử dụng các tính chất
- Từ tỉ lệ đã thiết lập, chúng ta có thể tính:
\[
BC = BD + DC = \frac{3}{4}x + x = \frac{7}{4}x
\]

### Bước 4: Xác định các điểm
Chúng ta biết rằng \( AD \) là phân giác, nên có thể áp dụng định lý phân giác trong tam giác để tìm độ dài của các đoạn thẳng \( AE \) và \( AF \).

### Bước 5: Tính \( |CM - EM| \)
Do \( CM = EM \), ta kéo rằng \( |CM - EM| = 0 \).

### Kết luận
Vì vậy, câu hỏi \( |CM - EM| \) hỏi giá trị tuyệt đối của chênh lệch giữa hai đoạn thẳng, và từ những tính toán, chúng ta có thể thấy rằng:

\[
\text{Kết quả} : |CM - EM| = 0
\]