Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

Để tính giá trị của các biểu thức lượng giác, trước tiên ta cần xác định giá trị của \(\alpha\) từ điều kiện đã cho là \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\).

### Bước 1: Tính \(\sin \alpha\)

1. Từ định lý Pythagore:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
Thay giá trị của \(\cos \alpha\):
\[
\sin^2 \alpha + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha + \frac{9}{25} = 1
\]
\[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\sin \alpha = -\frac{4}{5} \quad (\text{vì } \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2})
\]

### Bước 2: Tính \(\sin 2\alpha\)

2. Dùng công thức:
\[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]
Thay các giá trị đã tính:
\[
\sin 2\alpha = 2 \left(-\frac{4}{5}\right) \left(-\frac{3}{5}\right) = 2 \cdot \frac{12}{25} = \frac{24}{25}
\]

### Bước 3: Tính \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\)

3. Dùng công thức cosin tổng:
\[
\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi}{3}
\]
Giá trị \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) và \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[
\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
= -\frac{3}{10} + \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{10}
\]

### Bước 4: Tính \(\cos \frac{\alpha}{2}\)

4. Dùng công thức cosin nửa góc:
\[
\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]

### Kết quả

Tóm lại, các giá trị đã tính là:
- \(\sin \alpha = -\frac{4}{5}\)
- \(\sin 2\alpha = \frac{24}{25}\)
- \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\sqrt{3} - 3}{10}\)
- \(\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Hy vọng giúp ích được cho bạn!