Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(0; −2; 3). a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A lên OB ; b) Tính diện tích tam giác OAB

Để giải bài toán trên, chúng ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A lên OB

**Bước 1:** Xác định vectơ OB.

Điểm O có tọa độ (0; 0; 0), vì vậy vectơ OB là:

\[
\vec{OB} = B - O = (0; -2; 3) - (0; 0; 0) = (0; -2; 3)
\]

**Bước 2:** Xác định vectơ OA.

Vectơ OA là:

\[
\vec{OA} = A - O = (1; 2; -1) - (0; 0; 0) = (1; 2; -1)
\]

**Bước 3:** Tính tỉ số cosin của góc giữa các vectơ OA và OB.

Tính độ dài và sản phẩm vô hướng của hai vectơ:

\[
\|\vec{OB}\| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
\]

\[
\|\vec{OA}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
\]

Sản phẩm vô hướng:

\[
\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 = 0 - 4 - 3 = -7
\]

Tính tỉ số cosin:

\[
\cos \theta = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\|\vec{OA}\| \cdot \|\vec{OB}\|} = \frac{-7}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-7}{\sqrt{78}}
\]

**Bước 4:** Dùng công thức hình chiếu để tìm HI.

Điểm H là hình chiếu của A lên OB, nên OH có thể được tính bằng công thức:

\[
\vec{OH} = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\|\vec{OB}\|^2} \vec{OB}
\]

**Bước 5:** Tính tọa độ điểm H.

Giá trị:

\[
\|\vec{OB}\|^2 = 13
\]

\[
\vec{OH} = \frac{-7}{13} \cdot (0; -2; 3) = (0; \frac{14}{13}; -\frac{21}{13})
\]

Tọa độ điểm H sẽ là:

\[
H = O + \vec{OH} = (0; 0; 0) + (0; \frac{14}{13}; -\frac{21}{13}) = (0; \frac{14}{13}; -\frac{21}{13})
\]

### b) Tính diện tích tam giác OAB

**Bước 1:** Sử dụng công thức tính diện tích tam giác từ vectơ.

Diện tích tam giác OAB được tính bằng công thức:

\[
S_{OAB} = \frac{1}{2} \|\vec{OA} \times \vec{OB}\|
\]

**Bước 2:** Tính tích có hướng \(\vec{OA} \times \vec{OB}\).

\[
\vec{OB} = B - O = (0; -2; 3)
\]

Tính tích có hướng:

\[
\vec{OA} \times \vec{OB} = (1; 2; -1) \times (0; -2; 3) = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & 2 & -1 \\
0 & -2 & 3
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
= \hat{i} \begin{vmatrix}
2 & -1 \\
-2 & 3
\end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
0 & 3
\end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
0 & -2
\end{vmatrix}
\]

\[
= \hat{i} (2 \cdot 3 - (-1)(-2)) - \hat{j} (1 \cdot 3 - 0) + \hat{k} (1 \cdot (-2) - 0)
\]

\[
= \hat{i} (6 - 2) - 3\hat{j} - 2\hat{k} = 4\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}
\]

**Bước 3:** Tính độ dài của vectơ tích có hướng.

\[
\|\vec{OA} \times \vec{OB}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}
\]

**Bước 4:** Tính diện tích tam giác OAB.

\[
S_{OAB} = \frac{1}{2} \|\vec{OA} \times \vec{OB}\| = \frac{1}{2} \sqrt{29}
\]

### Kết quả:
- Tọa độ điểm H là \( \left(0; \frac{14}{13}; -\frac{21}{13}\right) \).
- Diện tích tam giác OAB là \( \frac{1}{2} \sqrt{29} \).