Để giải hệ phương trình đã cho theo tham số \( m \):

\[
\begin{cases}
x + my = m + 1 \quad (1) \\
mx + y = 2m \quad (2)
\end{cases}
\]

### a) Giải hệ phương trình theo tham số \( m \):

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải. Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \):

\[
x = m + 1 - my \quad (3)
\]

Thay \( x \) từ (3) vào (2):

\[
m(m + 1 - my) + y = 2m
\]

Mở và sắp xếp lại, ta có:

\[
m^2 + m - m^2y + y = 2m
\]
\[
(m^2 - 1)y = m^2 - m \quad (4)
\]

Từ (4), chúng ta có:

\[
y = \frac{m^2 - m}{m^2 - 1} \quad (m^2 \neq 1)
\]

Thay giá trị của \( y \) vào (3) để tìm \( x \):

\[
x = m + 1 - m \cdot \frac{m^2 - m}{m^2 - 1} = \frac{(m + 1)(m^2 - 1) - m(m^2 - m)}{m^2 - 1}
\]

Sắp xếp sẽ giúp ta tìm được giá trị của \( x \).

### b) Tìm các giá trị \( m \) nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Để có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ phương trình phải khác 0. Định thức \( D \) của ma trận hệ là:

\[
D = \begin{vmatrix}
1 & m \\
m & 1
\end{vmatrix} = 1 - m^2
\]

Để có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
1 - m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq 1 \implies m \neq 1 \text{ và } m \neq -1
\]

Vậy các giá trị \( m \) nguyên mà hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

\[
m \in \mathbb{Z}, m \neq 1, -1
\]

### c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \( x \) và \( y \):

Từ (4) dễ dàng thấy hệ thức giữa \( x \) và \( y \) có thể liên hệ qua các tham số \( m \). Cụ thể sẽ phụ thuộc vào việc thay thế vào các biểu thức \( x \) và \( y \) mà đã tìm được ở trên.

Khi có giá trị của \( m \), ta hoàn toàn có khả năng tìm ra các giá trị cụ thể cho \( x \) và \( y \), từ đó rút ra hệ thức liên hệ.

Hy vọng giải thích trên giúp bạn trong việc giải quyết bài toán!