Để chứng minh tứ giác DBEC là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa và một số tính chất của hình bình hành.

### Bước 1: Xác định các điểm và tính chất

Gọi:
- \( A, B, C, D \) là các đỉnh của hình bình hành ABCD.
- \( E \) là trung điểm của cạnh \( AB \).
- \( F \) là một điểm sao cho \( D \) là trung điểm của \( AF \).

Vì \( E \) là trung điểm của \( AB \), ta có:
\[
\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]

Vì \( D \) là trung điểm của \( AF \), ta có:
\[
\vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{F}}{2}
\]

### Bước 2: Tính toán tọa độ điểm F

Từ phương trình cho điểm \( D \):
\[
\vec{F} = 2\vec{D} - \vec{A}
\]
Thay thế từ \( \vec{D} \):
\[
\vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}
\]
do ABCD là hình bình hành (cạnh đối song song và bằng nhau).

Thay vào công thức trên, ta có:
\[
\vec{F} = 2\left(\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}\right) - \vec{A} = \vec{C} + \vec{A} - \vec{A} = \vec{C}
\]
Vậy \( F = C \).

### Bước 3: Xác định các đoạn thẳng trong tứ giác DBEC

Ta cần chứng minh rằng:
- \( DB \) song song với \( EC \).
- \( DE \) song song với \( BC \).

#### Chứng minh \( DB \) song song với \( EC \)

Ta có:
\[
\vec{B} = \vec{B}, \quad \vec{D} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}, \quad \vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}, \quad \vec{C} = \vec{C}
\]
Do đó, suy ra:
\[
\vec{D} + \vec{B} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} + \vec{B}
\]
xét đoạn thẳng \( DB \) và \( EC \).

Từ đó, ta sẽ có:
\[
\vec{E} + \vec{C} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \vec{C}
\]

### Bước 4: Kết luận

Vì \( AB \parallel DC \) và \( AD \parallel BC \) trong hình bình hành ABCD, lại có \( DB \parallel EC \) và \( DE \parallel BC \) - từ đó, tứ giác DBEC thỏa mãn điều kiện là hình bình hành:

\[
DBEC \text{ là hình bình hành.}
\]

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu.