Để chứng minh \( KM = KN \), ta sẽ sử dụng tính chất về tỉ lệ của điểm M và N trên các cạnh của tam giác \( \triangle ABC \).

1. **Xác định các điểm**:
- Giả sử điểm \( M \) chia đoạn \( AB \) theo tỉ lệ \( k:1 \) và điểm \( N \) chia đoạn \( AC \) theo tỉ lệ \( k:1 \). Điều này có nghĩa là:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = k.
\]

2. **Tọa độ các điểm**:
- Giả sử tọa độ \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(c_1, c_2) \).
- Tọa độ điểm \( M \) sẽ là:
\[
M\left(\frac{kb}{k+1}, 0\right).
\]
- Tọa độ điểm \( N \) sẽ là:
\[
N\left(\frac{kc_1}{k+1}, \frac{kc_2}{k+1}\right).
\]

3. **Tọa độ điểm I**:
- Trung điểm \( I \) của đoạn \( BC \):
\[
I\left(\frac{b+c_1}{2}, \frac{c_2}{2}\right).
\]

4. **Đường thẳng AI**:
- Phương trình đường thẳng \( AI \) có thể được tìm từ thông số bởi hai điểm \( A \) và \( I \).

5. **Phương trình về đường thẳng MN**:
- Từ tọa độ của \( M \) và \( N \), ta có thể xác định phương trình của đường thẳng \( MN \).

6. **Tìm giao điểm K**:
- Giao điểm \( K \) là điểm chung của hai đường thẳng \( AI \) và \( MN \).

7. **Sử dụng tính chất tỉ lệ**:
- Dựa vào tỉ lệ AM/MB và AN/NC, ta có thể suy ra rằng tam giác \( AMK \) và tam giác \( ANK \) có cùng chiều cao từ K đến cạnh MN. Từ đó suy ra \( KM \) và \( KN \) có quan hệ tỉ lệ.
- Bằng cách sử dụng các tính chất của đường trung bình hoặc hình học, ta có thể kết luận rằng \( KM = KN \).

Cuối cùng, ta đã chứng minh được \( KM = KN \) thông qua cách sử dụng tỉ lệ và tính chất của tam giác cũng như các điểm trên các cạnh.