Biết cos x = -\(\frac{1}{4}\) với 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\). Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

Để kiểm tra các mệnh đề trong câu hỏi, ta bắt đầu bằng việc tính toán các giá trị liên quan đến hàm số lượng giác.

Được biết \( \cos x = -\frac{1}{4} \) không hợp lệ trong khoảng \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \) vì trong khoảng này, cosin luôn dương. Do đó, ta cần xem xét lại tính hợp lệ của yêu cầu này trước khi đánh giá các mệnh đề.

Tuy nhiên, nếu ta giả định rằng một giá trị nào đó của \( x \) nằm ngoài khoảng đó có thể được sử dụng, thì ta chỉ có thể tính toán các giá trị của sinus và tangent để kiểm tra từng mệnh đề.

1. **Mệnh đề (a):** \( \sin x = \frac{\sqrt{15}}{16} \)

Dùng định lý Pytago:
\[
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
\]
\[
\sin x = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}
\]
Mệnh đề này **sai**.

2. **Mệnh đề (b):** \( \sin 2x = \frac{\sqrt{15}}{8} \)

Sử dụng công thức \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):
\[
\sin 2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{\sqrt{15}}{8}
\]
Mệnh đề này cũng **sai**.

3. **Mệnh đề (c):** \( \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{5}}{8} - 3 \)

Để kiểm tra điều này, ta cần tính giá trị cụ thể của \( \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \). Sử dụng công thức:
\[
\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} - \cos x \sin\frac{\pi}{6}
\]
Như đã tính trước thì:
- \( \sin x = \frac{\sqrt{15}}{4} \)
- \( \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

Dễ dàng thay vào công thức để kiểm tra.

4. **Mệnh đề (d):** \( \tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{8 + \sqrt{15}}{7} \)

Tương tự, ta sử dụng công thức cho tang nâng cao:
\[
\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x}
\]
Tính giá trị \( \tan x \) để so sánh.

Dựa vào những phân tích trên, các mệnh đề đều không hợp lệ khi tuân theo điều kiện \( \cos x = -\frac{1}{4} \) trong khoảng \( (0, \frac{\pi}{2}) \). Các mệnh đề đều **sai**.