Với x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z + xy + yz + zx = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ P = \sqrt{4 + x^4} + \sqrt{4 + y^2} + \sqrt{4 + z^4} \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = \sqrt{4 + x^4} + \sqrt{4 + y^4} + \sqrt{4 + z^4}
\]

với điều kiện

\[
x + y + z + xy + yz + zx = 6,
\]

ta sử dụng phương pháp bất đẳng thức để khảo sát.

### Bước 1: Sử dụng điều kiện ban đầu

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta có:

\[
\sqrt{4 + x^4} \geq \sqrt{x^4} = |x^2|.
\]
Vì \( x, y, z \) là các số thực, cho nên:

\[
\sqrt{4 + x^4} \geq 2\sqrt{1 + \left(\frac{x^4}{4}\right)} \geq 2,
\]

với dấu "=" xảy ra khi \( x = 0 \).

### Bước 2: Khảo sát giá trị của \( x, y, z \)

Lưu ý rằng với điều kiện \( x + y + z + xy + yz + zx = 6 \), nếu ta cho tất cả \( x, y, z \) có giá trị bằng nhau (x = y = z), thì:

\[
3x + 3x^2 = 6 \implies x(1 + x) = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0.
\]

Giải phương trình bậc hai trên, ta có:

\[
x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2.
\]

### Bước 3: Tính giá trị của \( P \)

Giả sử \( x = y = z = 1 \):

\[
P = 3\sqrt{4 + 1^4} = 3\sqrt{5}.
\]

### Bước 4: Kiểm tra trường hợp khác

Nếu \( x = 2, y = 2, z = 0 \), thì

\[
2 + 2 + 0 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 2 + 2 + 4 = 6.
\]

Tính \( P \):

\[
P = \sqrt{4 + 2^4} + \sqrt{4 + 2^4} + \sqrt{4 + 0^4} = 2\sqrt{20} + 2 = 4\sqrt{5} + 2.
\]

### Bước 5: So sánh các giá trị

Giá trị tính được khi \( x = y = z = 1 \) là \( 3\sqrt{5} \), và điểm kiểm tra \( x = 2, y = 2, z = 0 \) cho ra \( 4\sqrt{5} + 2 \).

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( P \) khi \( x = y = z = 1 \) là:

\[
\boxed{3\sqrt{5}}.
\]