Để giải bất phương trình \(|x - 2| + \sqrt{(2y - 1)} \leq 0\), ta xem xét từng thành phần:

1. **Phần đầu tiên**: \(|x - 2|\) luôn không âm, tức là \(|x - 2| \geq 0\).
2. **Phần thứ hai**: \(\sqrt{(2y - 1)}\) cũng luôn không âm, và nó chỉ bằng 0 khi \(2y - 1 \geq 0\) hay \(y \geq \frac{1}{2}\).

Vì hai thành phần này đều không âm, thì tổng của chúng chỉ có thể bằng 0 khi cả hai thành phần đều bằng 0.

- Từ \(|x - 2| = 0\), suy ra \(x = 2\).
- Từ \(\sqrt{(2y - 1)} = 0\), suy ra \(2y - 1 = 0\) hay \(y = \frac{1}{2}\).

Tóm lại, nghiệm duy nhất cho bất phương trình này là:
- \(x = 2\) và \(y = \frac{1}{2}\).

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \(M = 1x^2y + 4xy^2\) với \(x = 2\) và \(y = \frac{1}{2}\).

Thay \(x\) và \(y\) vào biểu thức:

\[
M = 1(2^2)\left(\frac{1}{2}\right) + 4(2)\left(\frac{1}{2}\right)^2
\]

Tính từng thành phần:

1. \(1(2^2)\left(\frac{1}{2}\right) = 1 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\)
2. \(4(2)\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = 2\)

Cộng lại:

\[
M = 2 + 2 = 4
\]

Vậy, giá trị của biểu thức \(M\) là \(4\).