Để chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành mà không sử dụng tính chất đường trung bình, ta sẽ thực hiện theo các bước như sau:

1. **Gọi và xác định các điểm**:
- \( D \) là trung điểm của \( BC \).
- \( E \) là trung điểm của \( CA \).
- \( F \) là trung điểm của \( AB \).
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

2. **Chứng minh rằng các đoạn thẳng \( BD \) và \( EF \) song song**:
- Trước tiên, nhận thấy rằng \( AH \) vuông góc với \( BC \), vì \( AH \) là đường cao. Nên ta có góc \( AHB = 90^\circ \) và góc \( AHC = 90^\circ \).
- Tiếp theo, tại điểm \( D \) (trung điểm của \( BC \)), kẻ đường thẳng \( DE \). Từ định nghĩa trung điểm, suy ra \( AD = DB \) và \( AE = EC \).
- Do đó, tam giác \( AHB \) và tam giác \( AHC \) có:
- \( AH \) chung
- \( AB = AC \) (do \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh đối diện tại đỉnh \( A \))
- Suy ra tam giác \( AHB \) và \( AHC \) giống nhau theo định nghĩa đồng dạng (cạnh - cạnh).

3. **Chứng minh rằng các đoạn thẳng \( BE \) và \( DF \) cũng song song**:
- Cũng tương tự, kẻ đoạn thẳng \( DF \) và nhận thấy rằng \( BF \) và \( CE \) bây giờ chính là các vectơ tọa độ của hai điểm \( B \) và \( E \) trên cùng một đường. Cùng với góc \( EFD = 90^\circ \) (giống góc \( AHB \)).
- Lần này ta có góc \( BDF \) và \( DEF \) cũng song song do tính chất tương tự của nó.

4. **Kết luận**:
- Từ hai nhóm các định lý về định nghĩa đoạn thẳng song song, ta nhận thấy rằng:
\[
BD \parallel EF \quad \text{và} \quad BE \parallel DF
\]
- Từ điều này, ta có rằng \( BDEF \) là hình bình hành.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác \( BDEF \) là hình bình hành mà không cần sử dụng tính chất đường trung bình.