So sánh: \( A = \frac{1999^{1999} + 1}{1999^{1998} + 1} \) và \( B = \frac{1999^{2000} + 1}{1999^{1999} + 1} \)

Để so sánh \( A = \frac{1999^{1999} + 1}{1999^{1998} + 1} \) và \( B = \frac{1999^{2000} + 1}{1999^{1999} + 1} \), chúng ta có thể tính A và B theo dạng tỷ lệ.

**Bước 1: Tính A**

\[
A = \frac{1999^{1999} + 1}{1999^{1998} + 1} = \frac{1999^{1999}}{1999^{1998}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{1999^{1999}}}{1 + \frac{1}{1999^{1998}}} = 1999 \cdot \frac{1 + \frac{1}{1999^{1999}}}{1 + \frac{1}{1999^{1998}}}
\]

Khi \( n \to \infty \):
\[
A \approx 1999 \cdot \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1999
\]

**Bước 2: Tính B**

\[
B = \frac{1999^{2000} + 1}{1999^{1999} + 1} = \frac{1999^{2000}}{1999^{1999}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{1999^{2000}}}{1 + \frac{1}{1999^{1999}}} = 1999 \cdot \frac{1 + \frac{1}{1999^{2000}}}{1 + \frac{1}{1999^{1999}}}
\]

Khi \( n \to \infty \):
\[
B \approx 1999 \cdot \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1999
\]

**Bước 3: So sánh A và B**

Chúng ta có thể chỉ ra thêm rằng:

\[
B = \frac{1999^{2000} + 1}{1999^{1999} + 1} = \frac{1999 \cdot (1999^{1999} + \frac{1}{1999})}{1999^{1999} + 1} \rightarrow 1999 \cdot \frac{1 + O(\frac{1}{1999^{1999}})}{1 + O(\frac{1}{1999^{1999}})} \rightarrow 1999
\]

Như vậy, dù A và B đều xấp xỉ 1999 ở giới hạn lớn, để so sánh chính xác:

\[
\frac{A}{B} = \frac{\frac{1999^{1999} + 1}{1999^{1998} + 1}}{\frac{1999^{2000} + 1}{1999^{1999} + 1}} = \frac{(1999^{1999} + 1)(1999^{1999} + 1)}{(1999^{1998} + 1)(1999^{2000} + 1)}
\]

Khi thực hiện các phép tính đơn giản, ta có thể đánh giá tỷ lệ này và xác định đâu là lớn hơn.

Kết quả cuối cùng:
- Nếu \( A < B \), thì \( A < B \)
- Nếu \( A = B \), thì \( A = B \)

Tuy nhiên, do các biểu thức có chứa bậc lớn như vậy, chúng ta có thể kết luận rằng \( A < B \) (vì bậc của tử số và mẫu số của B cao hơn A).