Để chứng minh rằng \( BM = \frac{1}{3} BC \) trong tam giác \( ABC \) với trọng tâm \( G \) và đường thẳng \( d \) đi qua \( G \) song song với \( AB \), ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và định lý về các đoạn thẳng trong tam giác.

1. **Xác định tính chất của trọng tâm**: Trọng tâm \( G \) của tam giác chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, với đoạn gần đỉnh (tức là đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm) dài gấp 2 lần đoạn còn lại.

2. **Vẽ đường thẳng \( d \)**: Đường thẳng \( d \) đi qua \( G \) và song song với \( AB \). Do đó, \( d \) sẽ chia đoạn \( BC \) tại điểm \( M \).

3. **Sử dụng tính chất tỉ lệ**:
- Vì \( d \) song song với \( AB \), theo định lý Thales, tỉ lệ các đoạn thẳng sẽ được bảo toàn. Do đó, ta có:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}
\]

4. **Áp dụng tính chất trọng tâm**:
- Lấy trọng tâm \( G \) là cách chia tỉ lệ 2:1 từ các đỉnh đến các cạnh đối diện, khi đó:
\[
\frac{BG}{GC} = \frac{2}{1}
\]
Hay \( G \) chia đoạn \( BC \) thành 2 phần (bao gồm \( BG \) và \( GC \)), trong đó \( BG = 2 \times GC \).

5. **Tóm lại**: Khi \( G \) chia \( BC \) thành tỉ lệ 2:1, và \( d \) cắt \( BC \) tại \( M \) sao cho \( BM \) tương ứng với đoạn thứ nhất (đi gần về \( B \)), nhưng do tính chất song song và tỉ lệ, ta kết luận được rằng:
\[
BM = \frac{1}{3} BC
\]

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng \( BM = \frac{1}{3} BC \).