Đặt h = AB là chiều cao ngọn hải đăng, tính BQ và BP theo h

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý tang trong tam giác vuông. Giả sử \( B \) là chân hải đăng, \( P \) và \( Q \) là vị trí của hai con thuyền.

1. Đặt chiều cao ngọn hải đăng \( h = AB \).
2. Thiết lập hệ trục tọa độ, với \( B \) là gốc tọa độ (0,0), \( P \) nằm ở khoảng cách \( BP = x \), và \( Q \) nằm ở khoảng cách \( BQ = x + 300 \).

### Bước 1: Tính \( BP \)

Trong tam giác \( ABP \), theo định nghĩa của góc và tang của góc, ta có:
\[
\tan(BPA) = \frac{AB}{BP} = \frac{h}{x}
\]
Với \( BPA = 14^\circ \), có:
\[
\tan(14^\circ) = \frac{h}{x}
\]
Vậy:
\[
x = \frac{h}{\tan(14^\circ)}
\]

### Bước 2: Tính \( BQ \)

Tương tự, trong tam giác \( ABQ \), ta có:
\[
\tan(BQA) = \frac{AB}{BQ} = \frac{h}{BQ}
\]
Với \( BQA = 42^\circ \), có:
\[
\tan(42^\circ) = \frac{h}{BQ}
\]
Vậy:
\[
BQ = \frac{h}{\tan(42^\circ)}
\]

Tuy nhiên, ta biết \( BQ = BP + 300 \), nghĩa là:
\[
BQ = x + 300
\]

### Bước 3: Thay thế giá trị \( BP \) vào phương trình \( BQ \)

Khi thay \( x \) vào phương trình \( BQ \):
\[
BQ = \frac{h}{\tan(14^\circ)} + 300
\]
So bằng với biểu thức trước đó:
\[
\frac{h}{\tan(42^\circ)} = \frac{h}{\tan(14^\circ)} + 300
\]

### Bước 4: Giải phương trình

Ta có phương trình:
\[
\frac{h}{\tan(42^\circ)} - \frac{h}{\tan(14^\circ)} = 300
\]

Đưa \( h \) ra ngoài:
\[
h \left( \frac{1}{\tan(42^\circ)} - \frac{1}{\tan(14^\circ)} \right) = 300
\]
Giải \( h \):
\[
h = \frac{300}{\frac{1}{\tan(42^\circ)} - \frac{1}{\tan(14^\circ)}}
\]

### Bước 5: Tính giá trị cụ thể cho \( BP \) và \( BQ \)

Sau khi có \( h \), chúng ta sẽ tính \( BP \) và \( BQ \):
1. Tính \( BP = \frac{h}{\tan(14^\circ)} \).
2. Tính \( BQ = \frac{h}{\tan(42^\circ)} \).

Cuối cùng, dựa trên giá trị của \( h \), chúng ta có thể tính ra các độ dài \( BP \) và \( BQ \).

Lưu ý rằng bạn có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tính toán các giá trị cụ thể sau khi biết giá trị của \( h \).