Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng phần của đề bài.

**Dữ liệu đã cho:**
- Tam giác ABC vuông tại A.
- AB = 3 cm
- AC = 4 cm

**a. Tính độ dài MN:**

Ta có thể tìm độ dài cạnh BC bằng định lý Pytago:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Đường cao AH có thể tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

Khi kẻ HM vuông góc với AB tại H và HN vuông góc với AC tại H, các đoạn AH, HM, và HN sẽ tạo ra hình chữ nhật HMNH.
Vì H là chân đường cao từ A, ta có:
- \( AM = AH \) (đường cao từ A đền M)
- \( AN = AH \) (đường cao từ A đến N)

Với H là điểm chung, ta có MN là đoạn thẳng nằm giữa hai điểm M và N.

Độ dài MN sẽ là
\[
MN = HM + HN = \left( AB - AM \right) + \left( AC - AN \right)
\]

Tính tiếp:
- \( AM = AH = 2.4 \, \text{cm} \)
- \( HM = AB - 2.4 = 3 - 2.4 = 0.6 \, \text{cm} \)
- \( HN = AC - 2.4 = 4 - 2.4 = 1.6 \, \text{cm} \)

Vậy:
\[
MN = HM + HN = 0.6 + 1.6 = 2.2 \text{ cm}
\]

**b. Tính số đo các góc của tam giác ABC và tam giác AMN:**

- Tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- \( \angle A = 90° \)
- \( \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \Rightarrow \angle B = \tan^{-1}(\frac{4}{3}) \approx 53.13° \)
- \( \angle C = 90° - \angle B \approx 36.87° \)

- Đối với tam giác AMN, chúng ta có:
- \( \angle AMH = 90° \) từ M xuống H
- \( \angle ANH = 90° \) từ N xuống H
- Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác:

- \( \angle MAM + \angle AMN + \angle AMH = 180° \)
- Từ đó chúng ta có \( \angle AMN = 90° - 2.4° \)

Áp dụng về độ dài, chúng ta có:
- \( \angle AMN + \angle ANM = 90° \)

**c. Tính diện tích tam giác BMNC:**

Để tính diện tích tam giác BMNC, ta có diện tích:
\[
S_{BMNC} = S_{BMC} + S_{CNA}
\]

Ta biết rằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

Diện tích BMNC chính là diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích của hai tam giác AMB và ANC:

\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} * AM * AB = \frac{1}{2} * 2.4 * 3 = 3.6 \text{ cm}^2
\]
\[
S_{ANC} = \frac{1}{2} * AN * AC = \frac{1}{2} * 2.4 * 4 = 4.8 \text{ cm}^2
\]

Tổng diện tích của hai tam giác:
\[
S_{AMB} + S_{ANC} = 3.6 + 4.8 = 8.4 \text{ cm}^2
\]

Diện tích tang bâng:
\[
S_{BMNC} = S_{ABC} - S_{AMB} - S_{ANC} = 6 - 8.4.
\]

Từ đây, chúng ta có thể kết luận các kết quả lần lượt cho từng câu hỏi là:

**Kết luận:**
a. \( MN = 2.2 \, \text{cm} \)
b. Góc trong tam giác ABC là \( 90° \), \( 53.13° \) và \( 36.87° \)
Góc cho tam giác AMN tính toán lại phân tích để được 90° và bằng được sinh ra khác từ góc ANM
c. \( S_{BMNC} = 3 \).