Để tìm tập xác định của các hàm số đã cho, ta sẽ phân tích từng hàm riêng lẻ.

1. **Hàm số \(g(x)\)**:
- \(g(x) = \begin{cases} 2x - 5 & \text{nếu } x \geq 1 \\ x^2 + 1 & \text{nếu } x < 1 \end{cases}\)
- Tập xác định: \(x \in \mathbb{R}\) (cả 2 trường hợp đều hợp lệ).

2. **Hàm số \(y = x^2 - 3x + \sqrt{2}\)**:
- Tập xác định: \(x \in \mathbb{R}\) (không có điều kiện ràng buộc).

3. **Hàm số \(y = \frac{x + 1}{x - 2}\)**:
- Điều kiện: \(x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2\).
- Tập xác định: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

4. **Hàm số \(y = \sqrt{4 - x}\)**:
- Điều kiện: \(4 - x \geq 0 \implies x \leq 4\).
- Tập xác định: \((- \infty, 4]\).

5. **Hàm số \(y = \frac{3x}{2x + 8}\)**:
- Điều kiện: \(2x + 8 \neq 0 \implies x \neq -4\).
- Tập xác định: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-4\}\).

6. **Hàm số \(y = \sqrt{x + 3} - \frac{1}{\sqrt{7 - x}}\)**:
- Điều kiện 1: \(x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3\).
- Điều kiện 2: \(7 - x > 0 \implies x < 7\).
- Tập xác định: \([-3, 7)\).

Tóm lại, các tập xác định của các hàm số lần lượt là:
1. \(x \in \mathbb{R}\)
2. \(x \in \mathbb{R}\)
3. \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}\)
4. \(x \in (-\infty, 4]\)
5. \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-4\}\)
6. \(x \in [-3, 7)\)