Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2√3a và AM là trung tuyến. Tính m + n

Để giải bài toán, ta bắt đầu với tam giác vuông ABC có \(A\) là đỉnh vuông, \(AB = a\), \(AC = 2\sqrt{3}a\).

1. Tính độ dài \(BC\) bằng định lý Pythagoras:
\[
BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{(2\sqrt{3}a)^2 + a^2} = \sqrt{12a^2 + a^2} = \sqrt{13a^2} = \sqrt{13}a
\]

2. Tính độ dài trung tuyến \(AM\) từ \(A\) đến \(BC\). Công thức cho độ dài trung tuyến từ một đỉnh đến cạnh đối diện là:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]
Thay các giá trị vào:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2) + 2(4 \cdot 3a^2) - 13a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 24a^2 - 13a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{13a^2} = \frac{\sqrt{13}}{2} a
\]

3. Ta đã có:
- \(AB = a\)
- \(AC = 2\sqrt{3}a\)
- \(AM = \frac{\sqrt{13}}{2}a\)

4. Vẽ vectơ \(\overrightarrow{B}\) và \(\overrightarrow{A}\):
\[
\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AM} = \frac{m}{n} a^2
\]

Sử dụng tỉ lệ thỏa mãn \( \frac{BA}{AM} \):
\[
BA = \sqrt{(2\sqrt{3}a)^2 + a^2} = BC = \sqrt{13}a
\]
Ta có thể đi đến tỷ lệ:
\[
\frac{BA}{AM} = \frac{\sqrt{13}a}{\frac{\sqrt{13}}{2}a} = 2
\]

Vậy \(\frac{m}{n} = \frac{m}{1}\), có \(m = 2\) và \(n = 1\).

Cuối cùng:
\[
m + n = 2 + 1 = 3
\]

Kết quả là \(3\).