Cho ∆ABC có AB = AC. Lấy điểm E thuộc tia phân giác của BAC sao cho E nằm ngoài ∆ABC. Kẻ EN ⊥ AB tại N, EP ⊥ AC tại P

Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu:

a) **Chứng minh \(\triangle AEN = \triangle AEP\)**:
Ta có \(AB = AC\) (do \(\triangle ABC\) cân tại A).
Vì E nằm trên tia phân giác của góc \(BAC\), nên \(\angle BAE = \angle EAC\).
Lại có \(EN \perp AB\) tại N và \(EP \perp AC\) tại P.
Từ đó, ta có:
\(\angle AEN = \angle AEP = 90^\circ\).
Vậy:
\[
\begin{align*}
& \angle AEN = \angle AEP, \\
& \angle BAE = \angle EAC \implies \text{AB = AC}.
\end{align*}
\]
Suy ra \(\triangle AEN \cong \triangle AEP\) (S - C - S).

b) **Chứng minh \(\triangle ABE = \triangle ACE\)**:
Tương tự như phần a), ta có:
\(\angle ABE = \angle ACE\) và \(AB = AC\) (vì \(\triangle ABC\) cân).
Do đó, có \(\triangle ABE \cong \triangle ACE\) (S - C - S).

c) **Chứng minh \(\triangle BNE = \triangle CPE\)**:
Từ các phần trước, ta có \(\angle AEN = \angle AEP\) và \(AB = AC\).
Khi đó, do hai tam giác này có cùng một chiều cao (đoạn EN và EP), suy ra:
khi nhận thấy \(\angle BNE = \angle CPE\), ta có \(\triangle BNE \cong \triangle CPE\).

d) **Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(A, M, E\) thẳng hàng**:
Từ các tam giác đã chứng minh trên, ta có thể thấy rằng E nằm trên đường phân giác của góc \(BAC\), và M là trung điểm của đoạn BC.
Khi E nằm trên tia phân giác, đường thẳng AM đi qua E sẽ chia tam giác thành hai phần đều nhau, chứng minh rằng \(A, M, E\) thẳng hàng.

Vậy, tất cả các yêu cầu đã được chứng minh.