Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Gọi M, N làn lượt là giao điểm của AI, CK với đường chéo BD

Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các tính chất về trung điểm, giao điểm.

**Giả thiết:** Hình bình hành ABCD với K và I lần lượt là trung điểm của AB và CD. M là giao điểm của AI với BD, N là giao điểm của CK với BD.

### Chứng minh (a)

**Tam giác ADM = tam giác CBN:**

1. Ta có K là trung điểm của AB nên AK = KB.
2. Tương tự, I là trung điểm của CD nên CI = ID.
3. Theo các tính chất của hình bình hành, ta có:
- AD = BC (cạnh đối)
- AM = CN (giao điểm của các đường thẳng)
- DM = BN (do M và N là giao điểm với đường chéo BD).

Từ đó, ta có:
- AD = BC
- AM = CN
- DM = BN

Suy ra, tam giác ADM và tam giác CBN có các cạnh tương ứng bằng nhau, từ đó suy ra hai tam giác này bằng nhau.

### Chứng minh (b)

**Góc MAC = góc NCA và IM // CN:**

1. Xét tam giác AMI và CNI:
- Ta có MA kéo dài tạo thành góc MAC.
- Ta có NC kéo dài tạo thành góc NCA.

2. Vì AD || BC trong hình bình hành nên ∠MAC = ∠NCA (góc trong cùng phía).

3. Để chứng minh IM // CN, ta xét:
- IM và CN là những đoạn thẳng nối giữa các điểm trên cùng hai cạnh song song (AD và BC).
- Suy ra, IM // CN theo quy tắc cắt đôi của tam giác.

### Chứng minh (c)

**DM = MN = NB:**

1. Từ sự đối xứng của hình bình hành cũng như từ tính chất trung điểm, ta có:
- DM = MN: Do M và N nằm trên đường chéo BD và theo tính chất đường chéo của hình bình hành, DM và MN tạo thành hai đoạn thẳng bằng nhau.
- MN = NB: Tương tự, N nằm giữa M và B, do đó MN = NB.

Từ đó, suy ra DM = MN = NB.

### Chứng minh (d)

**AC, BD, IK đồng quy tại 1 điểm:**

1. Gọi O là giao điểm của BD và AC. Theo định lý về giao điểm của hai đường chéo trong hình bình hành, O là điểm trung gian của AB và CD vì K và I là trung điểm.
2. Do đó, ta có IG || AB và IK // CD, do đó IK sẽ cắt BD tại O.
3. Suy ra AC, BD và IK đồng quy tại điểm O.

Như vậy, các bài toán đã được chứng minh theo từng yêu cầu.