Để chứng minh rằng tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không phải là số chính phương, ta bắt đầu với bốn số tự nhiên liên tiếp:

Giả sử bốn số tự nhiên liên tiếp là: \( n, n+1, n+2, n+3 \).

Bước 1: Tính tổng bình phương của bốn số này:

\[
S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2
\]

Bước 2: Mở rộng biểu thức:

\[
S = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9)
\]

Bước 3: Gộp lại các hạng tử:

\[
S = 4n^2 + (2n + 4n + 6n) + (1 + 4 + 9)
\]

\[
S = 4n^2 + 12n + 14
\]

Bước 4: Rút gọn biểu thức:

\[
S = 4n^2 + 12n + 14 = 2(2n^2 + 6n + 7)
\]

Bước 5: Phân tích tổng:

Biểu thức \( 2(2n^2 + 6n + 7) \) là một số chẵn.

Bước 6: Kiểm tra tính chính phương:

- Một số chính phương có thể là một số chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn.
- Ta xét số \( k^2 \) với \( k \) là số nguyên dương. Số chính phương của số chẵn là \( 0, 4, 16, 36, \ldots \) và số chính phương của số lẻ là \( 1, 9, 25, \ldots \).

Bước 7: Chứng minh sự không phù hợp:

Giả sử \( S = m^2 \) cho một số nguyên \( m \).
- Nếu \( m \) chẵn, thì \( S \equiv 0 \, \text{mod} \, 4 \).
- Nếu \( m \) lẻ, thì \( S \equiv 1 \, \text{mod} \, 4 \).

Ta kiểm tra \( S = 4n^2 + 12n + 14 \):
- Xét \( S \, \text{mod} \, 4 \):
\[
S = 4n^2 + 12n + 14 \equiv 2 \, \text{mod} \, 4,
\]

Như vậy, \( S \) không thể là một số chính phương, vì không có số nguyên nào có thể cho ra kết quả \( 2 \, \text{mod} \, 4\).

Kết luận: Tổng bình phương của bốn số tự nhiên liên tiếp không phải là số chính phương.