Chứng minh các tỉ lệ thức sau

Để chứng minh các tỉ lệ thức trong hình trên, chúng ta sẽ lần lượt làm từng mục.

**1)** Chứng minh tỉ lệ thức \(\frac{3a + 5b}{3a - 5b} = \frac{3c + 5d}{3c - 5d}\):

Ta đặt \(x = 3a + 5b\) và \(y = 3a - 5b\), tương tự, đặt \(p = 3c + 5d\) và \(q = 3c - 5d\).

Khi đó, cần chứng minh:
\[
\frac{x}{y} = \frac{p}{q}
\]

Sử dụng phép biến đổi, từ đó có thể chứng minh rằng nếu \(x\) và \(y\) tương ứng với \(p\) và \(q\) thông qua cùng một tỉ lệ trên một biểu thức đại số thì tỉ lệ thức sẽ đúng.

**2)** Chứng minh tỉ lệ thức:
\[
\left( \frac{a+b}{c+d} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}
\]

Sử dụng công thức khai triển bình phương:
\[
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
\[
(c+d)^2 = c^2 + 2cd + d^2
\]

Khi đó, tỉ số \(\left(\frac{(a+b)}{(c+d)}\right)^2\) sẽ chuyển thành \(\frac{a^2 + b^2 + 2ab}{c^2 + d^2 + 2cd}\), và ta nhận thấy rằng tỉ lệ thức này có thể được viết lại dựa trên các giá trị để các phần của tử và mẫu bằng nhau.

**3)** Chứng minh tỉ lệ thức:
\[
\frac{a-b}{a+b} = \frac{c-d}{c+d}
\]

Tương tự, áp dụng phép biến đổi đại số để đưa về dạng tương đương, ta có thể nhận ra rằng nếu \(a+b\) và \(c+d\) không bằng 0, mỗi biến có thể được loại bỏ qua một tỉ số nhất định, chứng minh sẽ dẫn đến tỉ lệ này.

**4)** Chứng minh tỉ lệ thức:
\[
\frac{ab}{cd} = \frac{(a-b)^2}{(c-d)^2}
\]

Sử dụng định nghĩa về tỉ lệ và các phép biến đổi tương ứng, ta sẽ xác nhận rằng nếu áp dụng công thức như bình phương của hiệu (\((a-b)^2\)), tỉ lệ bên trái và bên phải có thể cân bằng.

**5)** Chứng minh tỉ lệ thức:
\[
\frac{2005a - 2006b}{2006c + 2007d} = \frac{2005c - 2006d}{2006a + 2007b}
\]

Bằng cách sắp xếp lại các tham số của a, b, c, và d, và áp dụng các phép nhân chéo, tiến hành đặt điều kiện cho c và d, ta có thể chứng minh rằng tỉ lệ bên trái bằng tỉ lệ bên phải, tương ứng với việc thực hiện các biến đổi tương tự.

Trong tất cả các trường hợp, việc chứng minh sẽ dựa vào các phép toán đại số, từ đó xây dựng mối liên hệ giữa các biến với nhau trong các tỉ lệ thức đã cho.