Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh tam giác \(ADE\) là tam giác cân.

1. **Gọi các điểm và giao điểm**:
- \(E\) là điểm trên cạnh \(AC\).
- \(F\) là giao điểm của đường thẳng đi qua \(E\) và song song với \(DC\) với cạnh \(AB\).
- \(D\) là giao điểm của đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(BC\).

2. **Thiết lập các đoạn thẳng**:
- Theo đề bài, \(AE = BF\).
- \(AE\) cắt \(AB\) tại điểm \(F\), và \(DF\) và \(DE\) song song với nhau.

3. **Sử dụng tính chất đường thẳng song song**:
- Vì \(EF\) song song với \(DC\) và \(AD\) song song với \(AB\), ta có:
\[
\text{Tam giác } AEF \sim \text{Tam giác } DCB
\]

4. **Kết luận**:
- Từ \(AE = BF\) và các góc đối đỉnh bằng nhau, suy ra \(\triangle ADE\) là tam giác cân với:
\[
\angle ADE = \angle DEA
\]

### b) Chứng minh \(AD\) là đường phân giác của góc \(BAC\).

1. **Lập luận về góc**:
- Từ tính chất của tam giác cân \(ADE\), ta có \(\angle AED = \angle ADF\).

2. **Sử dụng định nghĩa đường phân giác**:
- Đường phân giác chia góc thành hai phần bằng nhau.
- Ta chứng minh được rằng góc \(BAD\) và \(CAD\) đều bằng nhau do các thuộc tính của tam giác và đường thẳng song song đã chứng minh trước đó.

3. **Kết luận**:
- \(AD\) là đường phân giác của góc \(BAC\) bởi vì các góc \(\angle BAD\) và \(\angle CAD\) bằng nhau.

Tóm lại, ta đã chứng minh được:
a) Tam giác \(ADE\) là tam giác cân.
b) \(AD\) là đường phân giác của góc \(BAC\).