Để giải bài toán hình học này, ta sẽ chứng minh từng phần một theo yêu cầu:

### Phần a)

**Chứng minh: \( IB = IC \)**

1. **Xét tam giác \( \triangle MBI \) và \( \triangle MCI \)**:
- M là trung điểm của BC => \( MB = MC \)
- \( MI \) là đường vuông góc với \( BC \) (nghĩa là \( MI \perp BC \)).
- Trong \( \triangle ABC \), \( \angle ABI = \angle ACI \) (do I nằm trên tia phân giác) => Có hai góc này bằng nhau.

2. **Suy ra**:
- \( \triangle MBI \cong \triangle MCI \) (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh).
- Do đó, \( IB = IC \).

### Phần b)

**Chứng minh: \( IH = IK \)**

1. **Xét tam giác \( \triangle AHB \) và \( \triangle AKC \)**:
- \( IH \perp AB \) và \( IK \perp AC \) => do đó, \( \angle AHB = \angle AKC = 90^\circ \).
- \( IB = IC \) (theo phần a, chúng ta đã chứng minh).

2. **Suy ra**:
- \( \triangle AHB \cong \triangle AKC \) (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh).
- Do đó, \( IH = IK \).

### Phần c)

**Chứng minh: \( BH = CK \)**

1. **Xét tam giác \( \triangle ABH \) và \( \triangle ACK \)**:
- Từ phần b, ta thấy \( IH = IK \).
- \( I \) là điểm nằm trên tia phân giác của \( \angle BAC \), suy ra \( \angle AIB = \angle AIC \).

2. **Suy ra**:
- \( \triangle ABH \cong \triangle ACK \) (theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh).
- Do đó, \( BH = CK \).

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán. Nếu bạn cần thêm chi tiết về từng bước, hãy cho biết!