Để tìm giá trị của \( a \) sao cho hệ phương trình sau có nghiệm nguyên:

\[
\begin{cases}
ax + y = 3a \\
x + ay = 2a + 1
\end{cases}
\]

**Bước 1:** Từ phương trình đầu tiên \( ax + y = 3a \), ta có:

\[
y = 3a - ax \quad (1)
\]

**Bước 2:** Thay biểu thức cho \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
x + a(3a - ax) = 2a + 1
\]

**Bước 3:** Giải phương trình này:

\[
x + 3a^2 - a^2x = 2a + 1
\]

Kết hợp các số hạng có chứa \( x \):

\[
(1 - a^2)x + 3a^2 = 2a + 1
\]

**Bước 4:** Biểu diễn \( x \):

\[
(1 - a^2)x = 2a + 1 - 3a^2
\]

\[
x = \frac{2a + 1 - 3a^2}{1 - a^2} \quad (2)
\]

**Bước 5:** Thay \( x \) vào biểu thức của \( y \) (từ (1)):

\[
y = 3a - a\left(\frac{2a + 1 - 3a^2}{1 - a^2}\right)
\]

**Bước 6:** Để có nghiệm nguyên cho \( x \) và \( y \), \( 1 - a^2 \) không được bằng 0 (tức là \( a \neq 1 \) và \( a \neq -1 \)).

Lấy mẫu số \( 1 - a^2 \) là một điều kiện, ta có thể tìm giá trị của \( 2a + 1 - 3a^2 \) sao cho chia hết cho \( 1 - a^2 \).

**Bước 7:** Xét các giá trị nguyên cho \( a \):

1. **Nếu \( a = 0 \)**:

\[
x = \frac{1}{1} = 1, \quad y = 3 \cdot 0 - 0 = 0 \implies (1, 0)
\]

2. **Nếu \( a = 2 \)**:

\[
x = \frac{2 \cdot 2 + 1 - 3 \cdot 4}{1 - 4} = \frac{4 + 1 - 12}{-3} = \frac{-7}{-3} \quad (không nguyên)
\]

3. **Nếu \( a = -2 \)**:

\[
x = \frac{2 \cdot (-2) + 1 - 3 \cdot 4}{1 - 4} = \frac{-4 + 1 - 12}{-3} = \frac{-15}{-3} = 5
\]

\[
y = 3 \cdot (-2) - (-2) \cdot 5 = -6 + 10 = 4 \implies (5, 4)
\]

Tương tự, bạn có thể kiểm tra các giá trị khác của \( a \) để tìm thêm các nghiệm nguyên khác.

Như vậy, một số giá trị của \( a \) như \( 0 \) hay \( -2 \) cho phép hệ có nghiệm nguyên.