Để tính số đo của góc \(\angle BAC\), ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn và trung trực đoạn thẳng.

1. Gọi \(O\) là tâm của đường tròn và \(r\) là bán kính của nó. Vì \(A\) nằm trên đường tròn \((O)\), nên \(OA = r\).

2. Đường trung trực của đoạn \(AO\) sẽ cắt đường tròn tại hai điểm \(B\) và \(C\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AO\) có tính chất rằng mọi điểm trên đó đều cách đều điểm \(A\) và \(O\).

3. Bởi vì \(B\) và \(C\) nằm trên đường tròn và đều cách đều \(A\) và \(O\), nên cả \(B\) và \(C\) sẽ là các điểm đối xứng qua đường trung trực của \(AO\).

4. Theo định lý góc nội tiếp, góc \(\angle BAC\) sẽ là một góc nội tiếp của cung \(BC\) trên đường tròn. Do đó, số đo của góc \(\angle BAC\) bằng một nửa số đo của cung \(BC\).

5. Cung \(BC\) là cung lớn nhất trong đường tròn, với số đo bằng \(180^\circ\). Do đó, số đo của \(\angle BAC\) sẽ là:
\[
\angle BAC = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ
\]

Vậy, số đo của \(\angle BAC\) là \(90^\circ\).