Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt thuộc AB, AD sao cho:

Để chứng minh rằng \( MN \parallel BD \), ta sẽ sử dụng tính chất của các đường thẳng song song trong một tứ diện.

1. **Xác định các đại lượng**:
- Ta có điểm \( M \) trên cạnh \( AB \) và điểm \( N \) trên cạnh \( AD \).
- Theo giả thiết, ta có \( AM = \frac{1}{3} AB \) và \( AN = \frac{1}{2} ND \).

2. **Áp dụng định lý Thales**:
- Gọi \( K \) là điểm chia \( BD \) theo tỉ lệ \( AM : AB \) và \( AN : ND \).
- Vì \( AM : AB = 1 : 3 \) nên \( K \) chia \( BD \) theo tỉ lệ \( 1 : 3 \).
- Tương tự, \( AN : ND = 1 : 2 \) cho thấy \( N \) chia \( AD \) theo tỉ lệ \( 1 : 2 \).

3. **Chứng minh**:
- Do \( MN \) được xác định bởi các điểm thuộc các cạnh \( AB \) và \( AD \) được chia theo tỉ lệ tương ứng, ta kết luận rằng \( MN \parallel BD \) theo định lý Thales: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một hình tam giác (hoặc một tứ diện) và chia chúng thành các đoạn tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh thứ ba.

Vậy ta có \( MN \parallel BD \).