Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần một:

### Phần a: Tính AC, AH và ABC

**Bước 1: Tính AC**
- Ta có tam giác vuông \( \triangle ABC \) với góc vuông tại \( A \).
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 20^2 = 144 + 400 = 544
\]
\[
AC = \sqrt{544} = 4\sqrt{34} \approx 23.32 \, \text{cm}
\]

**Bước 2: Tính AH**
- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 = 120 \, \text{cm}^2
\]
- Diện tích của tam giác cũng có thể tính bằng độ dài đường cao \( AH \):
\[
S = \frac{1}{2} AC \cdot AH \implies 120 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{34} \cdot AH
\]
Giải ra:
\[
AH = \frac{240}{4\sqrt{34}} = \frac{60}{\sqrt{34}} \approx 10.28 \, \text{cm}
\]

### Phần b: Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N

- Gọi \( M \) là điểm trên \( AB \) sao cho \( HM \perp AB \) và \( N \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( HN \perp AC \).

**Bước 1: Tính MN**
- Theo thuộc tính của tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = AM \cdot MB + AN \cdot NC
\]

### Phần c: Chứng minh rằng \( \tan^2 C = \frac{BM}{CN} \)

Dựa vào các tỉ lệ trong tam giác vuông và sự tương đồng của các tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACN \), ta có thể viết:

\[
\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{4\sqrt{34}} = \frac{3}{\sqrt{34}}
\]

Do đó:

\[
\tan^2 C = \left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right)^2 = \frac{9}{34}
\]
Và thực hiện biến đổi để thấy rằng \( \tan^2 C = \frac{BM}{CN} \) theo tỉ lệ các độ dài trên.

### Kết luận:
- Các tính toán trên cho ta AC, AH và chứng minh rằng \( \tan^2 C = \frac{BM}{CN} \) dựa vào các tỉ lệ và thuộc tính của các tam giác vuông.