Chứng minh: MN // BD?

Để chứng minh \( MN \parallel BD \) trong hình tứ diện \( ABCD \), theo các dữ kiện đã cho, chúng ta sẽ sử dụng định lý Thales và tính chất của các đoạn thẳng trong hình học không gian.

1. **Ký hiệu và dữ liệu**:
- Gọi \( AM = \frac{1}{3} AB \)
- Gọi \( AN = \frac{1}{2} ND \)

2. **Tính toán các đoạn thẳng**:
- Vì \( M \) nằm trên đoạn \( AB \) và \( AN\) chia \( AD \) theo tỉ lệ \( 1:2 \), ta có \( AD = AN + ND = \frac{1}{2} ND + ND = \frac{3}{2} ND \).

3. **Áp dụng định lý Thales**:
- Theo định lý Thales, nếu một đoạn thẳng được chia thành các đoạn tỷ lệ thì đoạn thẳng cắt nó sẽ song song với đoạn thẳng nguyên gốc.
- Ở đây, \( M \) chia \( AB \) với tỉ lệ \( AM:MB = 1:2 \), nghĩa là \( MB = \frac{2}{3} AB \).
- Tương tự, \( N \) chia \( AD \) với tỉ lệ \( AN:ND = 1:2 \), dẫn đến \( ND = \frac{2}{3} AD \).

4. **Kết luận**:
- Từ định lý Thales, chúng ta suy ra rằng vì \( \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{ND} = \frac{1}{2} \), nên \( MN \parallel BD \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MN \parallel BD \).