Để giải phương trình \(x(x+2)^2 - (x-2)(x+2) = 0\), trước tiên ta sẽ khai triển từng phần.

1. **Khai triển \((x+2)^2\)**:
\[
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
\]

Vậy,
\[
x(x+2)^2 = x(x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x
\]

2. **Khai triển \((x-2)(x+2)\)**:
\[
(x-2)(x+2) = x^2 - 4
\]

3. **Thay thế vào phương trình**:
\[
x^3 + 4x^2 + 4x - (x^2 - 4) = 0
\]
\[
x^3 + 4x^2 + 4x - x^2 + 4 = 0
\]
\[
x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = 0
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm nghiệm cho phương trình bậc ba này. Ta có thể thử một số giá trị nguyên nhỏ:

- Đối với \(x = -1\):
\[
(-1)^3 + 3(-1)^2 + 4(-1) + 4 = -1 + 3 - 4 + 4 = 2 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]
- Đối với \(x = -2\):
\[
(-2)^3 + 3(-2)^2 + 4(-2) + 4 = -8 + 12 - 8 + 4 = 0 \quad (\text{là nghiệm})
\]

Vậy \(x = -2\) là một nghiệm. Bây giờ ta sẽ phân tích đa thức \(x^3 + 3x^2 + 4x + 4\) để tìm các nghiệm còn lại.

Sử dụng phép chia đa thức để chia cho \((x + 2)\):

Đặt \(x^3 + 3x^2 + 4x + 4\) chia cho \(x + 2\):
\[
x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x^2 + ax + b)
\]

Áp dụng quy tắc chia đa thức:
1. \(x^3\) chia cho \(x\) cho ra \(x^2\).
2. Nhân lại: \(x^2 \cdot (x + 2) = x^3 + 2x^2\).
3. Trừ đi: \((3x^2 - 2x^2) = x^2\).
4. Chuyển xuống: \(x^2 + 4x + 4\).
5. Tiếp tục: \(x^2\) chia cho \(x\) cho ra \(x\).
6. Nhân lại: \(x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x\).
7. Trừ đi: \((4x - 2x) = 2x\).
8. Chuyển xuống: \(2x + 4\).
9. Cuối cùng: \(2x\) chia cho \(x\) cho ra \(2\).
10. Nhân lại: \(2 \cdot (x + 2) = 2x + 4\).
11. Trừ đi: 0.

Kết quả chia là:
\[
x^3 + 3x^2 + 4x + 4 = (x + 2)(x^2 + x + 2)
\]

Giải phương trình \(x^2 + x + 2 = 0\):
\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7
\]
Vì \(\Delta < 0\) nên phương trình \(x^2 + x + 2 = 0\) không có nghiệm thực.

Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu là \(x = -2\).

**Kết luận:**
\(x = -2\) là nghiệm của phương trình \(x(x+2)^2 - (x-2)(x+2) = 0\).