Cho sin alpha + cos alpha = căn 2 và 0 độ < alpha < 90 độ. Các khẳng định sau đúng hay sai và giải thích kết quả

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}
\]

### Phân tích phương trình:

Ta có thể bình phương cả hai vế:

\[
(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\sqrt{2})^2
\]

Kết quả là:

\[
\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 2
\]

Biết rằng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta thay vào phương trình:

\[
1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2
\]

Giải phương trình trên ta có:

\[
2\sin \alpha \cos \alpha = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}
\]

### Kiểm tra khẳng định a:

\[
\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}
\]

Như đã tính ở trên, \(\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\). Vậy khẳng định **a là sai**.

### Kiểm tra khẳng định b:

Trước tiên, ta cần tính \(\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha\):

Ta biết rằng:

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \text{và} \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]

Vậy ta có:

\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

Đặt \(x = \sin^2 \alpha\) và \(y = \cos^2 \alpha\). Vì \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta có \(y = 1 - x\).

Do đó:

\[
\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = \frac{x}{1-x} + \frac{1-x}{x}
\]

Tính toán biểu thức trên:

\[
= \frac{x^2 + (1-x)^2}{x(1-x)} = \frac{x^2 + 1 - 2x + x^2}{x(1-x)} = \frac{2x^2 - 2x + 1}{x(1-x)}
\]

Tính căn bậc hai:

Ta có:

\[
\sqrt{\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha} = \sqrt{\frac{2x^2 - 2x + 1}{x(1-x)}}
\]

Đưa về dạng:

\[
= \sqrt{\frac{2\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = \frac{\sqrt{2\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1}}{\sin \alpha \cos \alpha}
\]

Bây giờ, ta cần so sánh với \(\frac{7}{4}\):

Tuy nhiên, sau khi thực hiện các phép tính, chúng ta nhận thấy rằng các phép tính không cần thiết. Chúng ta đã có:

\[
\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cfrac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = 2 \quad \Rightarrow \quad \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha \text{ có giá trị khác 7/4.}
\]

Vì vậy, sau khi phân tích và chỉ ra một cách nhanh chóng thì **khẳng định b là sai**.

### Kết luận:

- **a) Sai.**
- **b) Sai.**