Để phân tích đa thức \(\frac{1}{4} - 2x + 4x^2\), chúng ta có thể bắt đầu bằng cách sắp xếp lại các hạng tử theo thứ tự từ hạng tử có bậc cao nhất xuống hạng tử có bậc thấp nhất. Đa thức có dạng:

\[
4x^2 - 2x + \frac{1}{4}
\]

Bước tiếp theo là nhân tất cả các hạng tử với \(4\) để loại bỏ mẫu số:

\[
4(4x^2) - 4(2x) + 4\left(\frac{1}{4}\right) = 16x^2 - 8x + 1
\]

Bây giờ, chúng ta cần phân tích biểu thức \(16x^2 - 8x + 1\).

Để kiểm tra tính khả phân, chúng ta có thể sử dụng công thức phân tích đa thức bậc hai:

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

Trong đó \(a = 16\), \(b = -8\), và \(c = 1\). Tính Δ (delta):

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0
\]

Vì \(\Delta = 0\), điều này cho thấy phương trình có hai nghiệm trùng nhau, do đó, đa thức có thể được phân tích thành bình phương một nhị thức:

\[
16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2
\]

Vậy trở lại với biểu thức ban đầu, ta có:

\[
\frac{1}{4} - 2x + 4x^2 = \frac{(4x - 1)^2}{4}
\]

Cuối cùng, ta viết lại kết quả như sau:

\[
\frac{1}{4} - 2x + 4x^2 = \frac{(4x - 1)^2}{4}
\]

Đó là phân tích của đa thức đã cho.