Để chứng minh rằng dãy số \( u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \) là một dãy số bị chặn, chúng ta sẽ tiến hành phân tích và tính giới hạn của dãy số này khi \( n \to \infty \).

### Bước 1: Tính giới hạn của dãy số \( u_n \)

Ta có:

\[
u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 3}
\]

Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \):

\[
u_n = \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{3}{n^2}}
\]

Khi \( n \to \infty \), các thành phần \(\frac{1}{n^2}\) và \(\frac{3}{n^2}\) sẽ tiến gần đến 0. Do đó, ta có:

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}
\]

### Bước 2: Tìm các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của dãy số

Để chứng minh rằng dãy số này bị chặn, ta cần tìm ra hai số \( M \) và \( m \) sao cho:

\[
m \leq u_n \leq M \quad \forall n
\]

Xét giới hạn của dãy số đã tìm được, ta nhận thấy rằng \( u_n \) có xu hướng tiến đến \(\frac{1}{2}\) khi \( n \) lớn. Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra giá trị của \( u_n \) cho một số giá trị nhỏ của \( n \):

- Khi \( n = 1 \):

\[
u_1 = \frac{1^2 + 1}{2 \cdot 1^2 - 3} = \frac{2}{-1} = -2
\]

- Khi \( n = 2 \):

\[
u_2 = \frac{2^2 + 1}{2 \cdot 2^2 - 3} = \frac{5}{5} = 1
\]

- Khi \( n = 3 \):

\[
u_3 = \frac{3^2 + 1}{2 \cdot 3^2 - 3} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}
\]

### Bước 3: Kết luận

Từ các phép tính trên, ta thấy rằng:

- \( u_1 = -2 \)
- \( u_2 = 1 \)
- \( u_3 = \frac{2}{3} \)

Và từ giới hạn, ta có:

\[
u_n \text{ tiến đến } \frac{1}{2} \text{ khi } n \to \infty.
\]

Do đó, có thể thấy rằng \( u_n \) không chỉ tiến đến \( \frac{1}{2} \) mà còn không vượt quá \( 1 \) cho \( n \geq 2 \). Kết luận là dãy số này bị chặn bởi hai số \( -2 \) và \( 1 \).

### Kết luận
Dãy số \( u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \) là một dãy số bị chặn.