Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

### Bài 1:

**a) Chứng minh NP là đường trung trực của AH.**

1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.
2. Xét tam giác ABC có AB < AC và đường cao AH. Ta có:
- AH vuông góc với BC.
- M là trung điểm của BC, tức là AM = MB.
- N là trung điểm của CA, tức là AN = NC.
- P là trung điểm của AB, tức là AP = PB.

3. Ta chứng minh rằng NP vuông góc với AH. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng NP chia AH thành hai đoạn bằng nhau.
- Do M là trung điểm của BC, nên BM = MC (1).
- Do N là trung điểm của CA, nên AN = NC (2).
- Từ (1) và (2), ta suy ra rằng NP đi qua điểm H và chia đoạn AH thành hai đoạn bằng nhau.

4. Kết hợp với việc NP đi qua H và AH là đường thẳng vuông góc với BC, ta khẳng định rằng NP là đường trung trực của AH.

**b) Chứng minh MNPH là hình thang cân.**

1. Ta có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.
2. Do M và N đều là trung điểm, nên MN // AB và MN // CD.
3. Hơn nữa, các đoạn thẳng NM và PH đều bằng nhau vì chúng là các đoạn nối từ trung điểm đến đường cao.
4. Do đó, MNPH là hình thang cân.

### Bài 2:

**a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.**

1. Trong tam giác vuông ABC tại A, AH là đường cao.
2. Chúng ta đã kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC.
3. Do đó:
- Góc AHD = 90 độ (bởi HD ⊥ AB)
- Góc AHE = 90 độ (bởi HE ⊥ AC)
4. Vì AD và HE đều thuộc về đường cao AH và đều vuông góc với các cạnh của tam giác, nên ADHE là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh góc ADE = góc C.**

1. Trong tam giác vuông ABC, ta có:
- Góc A = 90 độ (bởi ABC vuông tại A)
- Góc C = 90 độ - góc B
2. Đối với tứ giác ADHE, ta biết góc ADE = góc C vì các cạnh AE và DE tương ứng với các cạnh AC và AB.
3. Như vậy, từ mối quan hệ giữa các góc, ta kết luận rằng: góc ADE = góc C.

### Bài 3:

Chứng minh HEBC là hình bình hành.

1. Trong hình thang cân ABCD với AB // CD, gọi AH là đường cao.
2. Gọi E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC.
3. Theo định nghĩa của trung điểm, ta có:
- AE = ED
- BF = FC

4. Do hai đoạn thẳng AE và BF đều bằng nhau và AE // BF, nên HEBC là hình bình hành vì các đoạn nối giữa các trung điểm đều song song và bằng nhau.

Vậy HEBC là hình bình hành.