Để giải bài toán về các tam giác trong đề bài trên, ta sẽ làm từng phần một.

### 1.1 Giải tam giác vuông ABC ( \(\angle A = 90^\circ\) )
#### a) Với \(a = 15 \text{cm}\) và \(b = 10 \text{cm}\)
- \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} \approx 18.03 \text{cm}\)

#### b) Với \(b = 12 \text{cm}\) và \(c = 7 \text{cm}\)
- \(a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{7^2 - 12^2} = \sqrt{49 - 144} \) (Thực tế không thể tính được vì \(49 < 144\), vậy bộ số này không hợp lệ cho tam giác vuông).

### 1.2 Tính diện tích tam giác ABC ( \(B = 60^\circ\), \(C = 50^\circ\), \(AC = 35 \text{cm}\) )
- Tính cạnh \(AB\) dùng định lý sin:
\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \implies AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{35 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ}
\]

- Tính cạnh \(BC\):
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \implies BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{35 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ}
\]

- Tính diện tích tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 35 \cdot \sin 60^\circ
\]

### 1.3 Diện tích tứ giác ABCD ( \(A = D = 90^\circ\), \(C = 40^\circ\), \(AD = 4 \text{cm}\) )
- Tính diện tích hai tam giác \(ABD\) và \(BCD\):
1. Diện tích tam giác \(ABD\):
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD
\]
2. Diện tích tam giác \(BCD\):
- Tính cạnh \(BC\) và \(CD\) từ các góc và cạnh đã cho, sử dụng các công thức tương tự.

Cuối cùng, tổng diện tích của tứ giác ABCD sẽ là \(S_{ABC} + S_{BCD}\).

Cần lưu ý rằng các giá trị về cạnh và góc cần phải tính toán chính xác. Bạn có thể sử dụng máy tính để có được các giá trị gần đúng cho \(\sin\).