Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu trong đề bài.

### a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật:

1. **Tính chất vuông góc**:
- Theo đề bài, \( HE \perp AB\) và \( HF \perp AC \).
- Do đó, \( \angle AEF = 90^\circ \) và \( \angle AHF = 90^\circ \).

2. **Chứng minh AEHF là hình chữ nhật**:
- Vì \( \angle AEF + \angle AHF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
- Mặt khác, \( AE \) và \( HF \) đều vuông góc với các cạnh của tam giác vuông \( ABC \).
- Do đó, \( AE \) song song với \( HF \) (cùng vuông góc với cạnh \( AC \)).
- Từ đó, suy ra \( AEHF \) là tứ giác có 2 cạnh đối diện song song và các góc vuông, nên là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh EF // HM:

1. **Đặt điểm \( M \)**:
- Lấy điểm \( M \) đối xứng với điểm \( A \) qua điểm \( F \).

2. **Tinh chất đối xứng**:
- Điểm \( M \) sẽ tạo thành đoạn thẳng \( AF \) và \( MF \) là các đoạn thẳng đối xứng.
- Theo tính chất đối xứng và việc \( F \) là trung điểm của đoạn \( AM \), nên \( EF \) // \( HM \).

### c) Chứng minh tứ giác AHNM là hình thoi:

1. **Đường thẳng song song**:
- Kẻ đường thẳng \( MN \) song song với đường cao \( AH \).
- Chúng ta có \( AH \perp AB \) và \( AH \perp AC \), do đó các cạnh của hình thoi sẽ đều có độ dài bằng nhau.

2. **Tính chất của hình thoi**:
- Mỗi bên của hình thoi sẽ có kích thước bằng nhau: \( AH = HM = AN = NM \).
- Các góc đối diện của tứ giác \( AHNM \) sẽ bằng nhau \( \angle AHM = \angle ANM \).

Kết luận: \( AHNM \) là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau và góc đối diện bằng nhau.

Hy vọng các lập luận trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!