Để tìm kích thước của bể cá hình hộp chữ nhật không nắp có đáy hình vuông với diện tích kính là 6 m² và thể tích lớn nhất, ta tiến hành các bước như sau:

1. **Đặt biến**:
- Gọi cạnh đáy hình vuông là \( x \) (m).
- Chiều cao của bể là \( h \) (m).

2. **Diện tích kính**:
Bể cá có một đáy hình vuông và bốn mặt bên. Diện tích sử dụng kính được tính bằng công thức:
\[
S = x^2 + 4xh
\]
Theo đề bài, \( S = 6 \):
\[
x^2 + 4xh = 6
\]

3. **Thể tích bể cá**:
Thể tích \( V \) của bể cá được tính bằng:
\[
V = x^2h
\]

4. **Thay \( h \) bằng \( x \)**:
Từ phương trình diện tích, ta có thể giải cho \( h \):
\[
4xh = 6 - x^2 \implies h = \frac{6 - x^2}{4x}
\]

5. **Thay vào công thức thể tích**:
Thể tích giờ trở thành:
\[
V = x^2 \cdot \frac{6 - x^2}{4x} = \frac{(6 - x^2)x}{4}
\]
Sắp xếp lại:
\[
V = \frac{6x - x^3}{4}
\]

6. **Tìm cực trị của thể tích**:
Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm của \( V \) và đặt nó bằng 0:
\[
V' = \frac{6 - 3x^2}{4} = 0 \implies 6 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}
\]

7. **Tính \( h \)**:
Thay giá trị \( x \) vào công thức để tìm \( h \):
\[
h = \frac{6 - x^2}{4x} = \frac{6 - 2}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

8. **Kết luận**:
Kích thước bể cá tối ưu để có thể tích lớn nhất là:
- Cạnh đáy \( x = \sqrt{2} \) m.
- Chiều cao \( h = \frac{\sqrt{2}}{2} \) m.

### Kết quả:
- Cạnh đáy: \( \sqrt{2} \approx 1.41 \) m.
- Chiều cao: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71 \) m.