Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và BAD = 60°. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Trên tia AB lấy điểm I sao cho B là trung điểm của AI

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng bước một.

### a) Chứng minh \(ABEF\) là hình thoi.

1. **Tính độ dài các cạnh:**
- Gọi \(AB = x\), do đó \(BC = 2AB = 2x\).
- Do \(BAD = 60^\circ\), ta có:
- \(AD = AB\) (theo định nghĩa hình bình hành).

2. **Xét tứ giác \(ABEF\):**
- \(E\) và \(F\) là trung điểm của \(BC\) và \(AD\) => \(BE = EC = x\) và \(AF = FD = x\).
- \(AB = AF = x\) và \(BE = EF = x\).

3. **Chứng minh độ dài các cạnh bằng nhau:**
- \(AB = BE = AF = x\).
- Do đó, \(ABEF\) có các cạnh bằng nhau => \(ABEF\) là hình thoi.

### b) Chứng minh tứ giác \(ABED\) là hình thang cân.

1. **Tính góc:**
- Tứ giác \(ABED\) có hai cặp cạnh song song \(AB \parallel ED\) và \(AD \parallel BE\).
- \(AD = BC\) và cả hai góc \(BAD\) và \(ABE\) có cùng độ lớn \(60^\circ\).

2. **Chứng minh:**
- Vì vậy, tứ giác \(ABED\) thỏa mãn điều kiện của hình thang cân, do đó \(ABED\) là hình thang cân.

### c) Xét góc \(BICD\) là hình gì? Vì sao?

- Từ việc chứng minh \(ABEF\) là hình thoi và \(ABED\) là hình thang cân, trong tứ giác \(BICD\) (với \(B\) là trung điểm của \(AI\)),
- Góc \(BICD\) sẽ có hình dạng có đặc điểm giống như hình bình hành (vì \(B\) là trung điểm của \(AI\)).

### d) Tính độ dài \(BD\) và \(IF\).

1. **Với \(AB = 5cm\):**
- \(BD = BC + CD = 2AB + AB = 3AB = 3 \times 5cm = 15cm\).
- Đối với \(IF\), vì \(I\) là điểm trên tia \(AB\), và \(B\) là trung điểm của \(AI\), độ dài \(IF\) sẽ cho ra kết quả bằng với nửa chiều dài của \(AB\) (theo tỉ lệ) hoặc theo định lý Pythagoras cho các cạnh.

Bắt đầu từ các điều kiện đã đặt ra, bạn có thể hoàn thiện các phép tính chính xác trong từng trường hợp.