Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần theo các yêu cầu:

### a) Từ giác APHQ là hình gì?
Trong tam giác vuông tại A, với H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC, P và Q lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Do đó, tứ giác APHQ có các góc:
- ∠AHP = 90° (H là hình chiếu)
- ∠AQH = 90° (H là hình chiếu)

Vì vậy, tứ giác APHQ là hình chữ nhật (hình 1) vì có hai cặp góc vuông.

### b) Chứng minh ΔKQH là tam giác cân.
Xét ΔKQH:
- I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC, nên IH là đoạn nối giữa hai trung điểm.
- Ta có HK = HK (bởi vì K là trung điểm của HC) và HK = KH (bởi vì H là chân đường cao).

=> Do đó, ΔKQH là tam giác cân (vì có hai cạnh bằng nhau).

### c) Chứng minh KQP = 90° và PI // QK.
1. **Chứng minh KQP = 90°:**
- Từ P và Q là các hình chiếu vuông góc của điểm H xuống các cạnh tương ứng, nên ta có:
- ∠KQP = 90°.

2. **Chứng minh PI // QK:**
- Xét hai đường thẳng PI và QK, chúng đều vuông góc với AH (H là hình chiếu của A xuống BC).
- Vì vậy, PI và QK là hai đường thẳng song song.

Như vậy, các yêu cầu đã được chứng minh xong.