Để tìm độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) của tam giác \( ABC \), ta có công thức liên hệ giữa diện tích \( S \), các cạnh a, b, c và bán kính R như sau:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

Trong đó:
- \( a = 13 \)
- \( b = 14 \)
- \( c = 15 \)
- \( S = 84 \)

Bây giờ chúng ta thay các giá trị vào công thức trên:

\[
R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84}
\]

Tiến hành tính toán các phần tử:

1. Tính \( 4 \cdot S \):
\[
4 \cdot 84 = 336
\]

2. Tính \( 13 \cdot 14 \cdot 15 \):
- Tính \( 13 \cdot 14 = 182 \)
- Tính \( 182 \cdot 15 = 2730 \)

Bây giờ thay vào công thức:

\[
R = \frac{2730}{336}
\]

Tiến hành chia:

\[
R = \frac{2730 \div 42}{336 \div 42} = \frac{65}{8} = 8.125
\]

Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) của tam giác là:

\[
\boxed{8.125}
\]