Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), ta có:

\[
\frac{n(n+1)}{2} \text{ là một số nguyên.}
\]

**Chứng minh:**

1. Gọi \( n \) là một số tự nhiên (tức là \( n \geq 0 \)).

2. Ta xét biểu thức \( n(n + 1) \):

- Khi \( n \) là số tự nhiên, thì \( n \) và \( n + 1 \) đều là các số nguyên.
- Sản phẩm của hai số nguyên là số nguyên, tức là \( n(n + 1) \) là số nguyên.

3. Ta cần chứng minh rằng \( \frac{n(n + 1)}{2} \) cũng là một số nguyên.

4. Xem xét hai trường hợp:

- **Trường hợp 1:** \( n \) là số chẵn. Khi đó có thể viết \( n = 2k \) với \( k \) là một số nguyên. Ta có:

\[
n(n + 1) = 2k(2k + 1) = 2k(2k + 1)
\]

Suy ra:

\[
\frac{n(n + 1)}{2} = k(2k + 1)
\]

Rõ ràng \( k(2k + 1) \) là số nguyên.

- **Trường hợp 2:** \( n \) là số lẻ. Khi đó có thể viết \( n = 2k + 1 \) với \( k \) là một số nguyên. Ta có:

\[
n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = (2k + 1) \cdot 2(k + 1)
\]

Suy ra:

\[
\frac{n(n + 1)}{2} = (2k + 1)(k + 1)
\]

Cũng là số nguyên.

5. Như vậy, trong cả hai trường hợp, ta đều có được rằng \( \frac{n(n + 1)}{2} \) là một số nguyên.

**Kết luận:** Vậy ta đã chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), \( \frac{n(n + 1)}{2} \) là một số nguyên.