Để chứng minh rằng \( 12^8 \cdot 9^{12} = 18^{16} \), chúng ta sẽ thực hiện phân tích các số nguyên thành thừa số nguyên tố.

1. **Phân tích số 12:**
\[
12 = 2^2 \cdot 3^1
\]
Vậy,
\[
12^8 = (2^2 \cdot 3^1)^8 = 2^{16} \cdot 3^8
\]

2. **Phân tích số 9:**
\[
9 = 3^2
\]
Vậy,
\[
9^{12} = (3^2)^{12} = 3^{24}
\]

3. **Kết hợp lại \( 12^8 \cdot 9^{12} \):**
\[
12^8 \cdot 9^{12} = (2^{16} \cdot 3^8) \cdot (3^{24}) = 2^{16} \cdot 3^{8 + 24} = 2^{16} \cdot 3^{32}
\]

4. **Phân tích số 18:**
\[
18 = 2^1 \cdot 3^2
\]
Vậy,
\[
18^{16} = (2^1 \cdot 3^2)^{16} = 2^{16} \cdot 3^{32}
\]

5. **So sánh hai biểu thức:**
Chúng ta có:
\[
12^8 \cdot 9^{12} = 2^{16} \cdot 3^{32}
\]
và
\[
18^{16} = 2^{16} \cdot 3^{32}
\]

Do đó, ta có \( 12^8 \cdot 9^{12} = 18^{16} \).

Vậy chúng ta đã chứng minh thành công rằng:
\[
12^8 \cdot 9^{12} = 18^{16}
\]