Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ ; MN < PQ). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M và N trên PQ. Chứng minh: QH = CP

Để chứng minh rằng \( QH = CP \) trong hình thang cân \( MNPQ \) với \( MN \parallel PQ \) và \( MN < PQ \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của hình thang cân.

### Bước 1: Thiết lập hình
Giả sử \( H \) và \( K \) lần lượt là hình chiếu của \( M \) và \( N \) trên đường thẳng \( PQ \).

### Bước 2: Cấu trúc hình học
Trong hình thang cân \( MNPQ \):
- \( MH = MK \) (vì \( M \) và \( N \) tương ứng với hình chiếu trên cùng một đường thẳng \( PQ \)).
- \( MN = PQ \) (đường chéo của hình thang cân).

### Bước 3: Đặc tính hình chiếu
Vì \( H \) và \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) và \( N \) xuống đường thẳng \( PQ\), nên có:
- \( MQ \) vuông góc với \( PQ \),
- \( NH \) vuông góc với \( PQ \).

### Bước 4: Sử dụng tính đối xứng
Bởi vì \( MNPQ \) là hình thang cân, nên:
- Đoạn thẳng từ \( M \) đến \( PQ \) được phân chia đối xứng tại trung điểm của \( PQ \).

### Bước 5: Dùng định lý Pytago
Xét tam giác vuông \( MQH \):
1. \( MQ^2 = QH^2 + MH^2 \) (1)
2. Tương tự với tam giác vuông \( NPK \):
3. \( NP^2 = CK^2 + NK^2 \) (2)

### Bước 6: Hoàn tất chứng minh
Khi xem xét hai tam giác vuông \( MQH \) và \( NPK \), với các cạnh tương ứng, chúng ta nhận thấy \( QH = CP \) từ tính chất đối xứng trong hình thang cân.

Cuối cùng, chúng ta có thể kết luận rằng, bởi các đoạn thẳng \( QH \) và \( CP \) có độ dài bằng nhau, tức là:
\[
QH = CP.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( QH = CP \) trong hình thang cân \( MNPQ \).