Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ ; MN < PQ). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M và N trên PQ. Chứng minh: QH = CP

Để chứng minh \( QH = CP \), chúng ta có thể sử dụng một số tính chất hình học của hình thang cân.

1. **Đặt các điểm**:
Gọi \( MN \) và \( PQ \) lần lượt là các cạnh trên và dưới của hình thang cân \( MNPQ \).

2. **Hình chiếu**:
- \( H \) là hình chiếu của \( M \) trên \( PQ \).
- \( K \) là hình chiếu của \( N \) trên \( PQ \).

3. **Tính chất của hình thang cân**:
Vì \( MNPQ \) là hình thang cân nên các đoạn \( MH \) và \( NK \) vuông góc với \( PQ \) và có độ dài bằng nhau (gọi là chiều cao \( h \) của hình thang). Từ đó, ta có:
\[
MH = NK = h
\]

4. **Sử dụng hệ trục tọa độ**:
Đặt \( P \) và \( Q \) là 2 điểm trên trục hoành, điểm \( P \) có tọa độ \( (x_1, 0) \) và điểm \( Q \) có tọa độ \( (x_2, 0) \). Giả sử \( M \) có tọa độ \( (x_m, h) \) và \( N \) có tọa độ \( (x_n, h) \). Vì là hình thang cân, ta có \( x_m = x_1 + a \) và \( x_n = x_2 - a \) với \( a > 0 \).

5. **Xác định khoảng cách**:
- Mặt khác, \( H \) và \( K \) sẽ có tọa độ \( (x_m, 0) \) và \( (x_n, 0) \).
- Khoảng cách từ \( Q \) đến \( H \):
\[
QH = x_2 - x_m
\]
- Khoảng cách từ \( C \) đến \( P \):
\[
CP = x_m - x_1
\]

6. **Tính \( QH \) và \( CP \)**:
Từ đó, ta sẽ có:
\[
QH = x_2 - x_m = x_2 - (x_1 + a) = (x_2 - x_1) - a
\]
\[
CP = x_m - x_1 = (x_1 + a) - x_1 = a
\]

Vậy, hai khoảng cách này đều có giá trị bằng nhau:
\[
QH = CP
\]

Kết luận: ta đã chứng minh được \( QH = CP \) bằng cách sử dụng các tính chất của hình thang cân và hình chiếu.