Xác định a và b để ax^4+bx^3+1 chia hết cho (x-1)^2

Để đa thức \( P(x) = ax^4 + bx^3 + 1 \) chia hết cho \( (x-1)^2 \), thì \( P(1) = 0 \) và \( P'(1) = 0 \).

**Bước 1: Tính \( P(1) \)**

\[
P(1) = a(1)^4 + b(1)^3 + 1 = a + b + 1
\]
Để \( P(1) = 0 \), ta có:
\[
a + b + 1 = 0 \quad (1)
\]

**Bước 2: Tính \( P'(x) \)**

Đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của \( P(x) \):
\[
P'(x) = 4ax^3 + 3bx^2
\]
Sau đó, ta tính \( P'(1) \):
\[
P'(1) = 4a(1)^3 + 3b(1)^2 = 4a + 3b
\]
Để \( P'(1) = 0 \), ta có:
\[
4a + 3b = 0 \quad (2)
\]

**Bước 3: Giải hệ phương trình**:

Ta có hai phương trình:
1. \( a + b + 1 = 0 \)
2. \( 4a + 3b = 0 \)

Từ phương trình (1), ta có:
\[
b = -a - 1
\]
Thay giá trị \( b \) vào phương trình (2):
\[
4a + 3(-a - 1) = 0
\]
\[
4a - 3a - 3 = 0
\]
\[
a - 3 = 0 \implies a = 3
\]

Thay \( a = 3 \) vào phương trình \( b = -a - 1 \):
\[
b = -3 - 1 = -4
\]

**Kết luận**:
Các giá trị cần tìm là \( a = 3 \) và \( b = -4 \).